Teoría básica de la antena

 Para el patrón de radiación emitido por una antena linear alimentada con un patrón actual sinusoidal. Si se asume que todos los campos y corrientes varían a tiempo como $ {\ rm e} de ^ {- {\} \, \ Omega t del rm i} $, y adoptando el calculo de Lorentz, se demuestra fácilmente que el potencial del vector obedece a la ecuación no homogénea de Helmholtz
\begin{displaymath}
(\nabla^2+k^2){\bfm A} = - \mu_0\, {\bfm j},
\end{displaymath}  

donde $k= \ omega/c$. La función de Green para esta ecuación, conforme a la condición de la radiación de Sommerfeld (que se asegura  que las fuentes irradien ondas en vez de absorberlas), es dada por
\begin{displaymath}
{\bfm A}({\bfm r}) =\frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{{\bfm j}({...
...{\bfm r}'\vert}}{\vert{\bfm r}-{\bfm r}'\vert}\,
d^3{\bfm r}'.
\end{displaymath}  

El campo eléctrico en la región libre de la fuente sigue de la ecuación del Amperio-Maxwell y = \ nabla \ cuña {\ bfm A} $ de $ {\ bfm B},
\begin{displaymath}
{\bfm E} = \frac{\rm i}{k}\nabla\wedge c{\bfm B}.
\end{displaymath}  

Ahora

\begin{displaymath}
\vert{\bfm r} - {\bfm r}'\vert = r\,\sqrt{1- 2\,{\bfm n}\!\cdot\!{\bfm r}'/r+
{r'}^2/r^2},
\end{displaymath}  

donde $ {\ bfm n} = {\ bfm r} /r$. Si se asume eso ll r$ de $r'\, esta expresión se puede ampliar binomial a la elasticidad
\begin{displaymath}
\vert{\bfm r} -{\bfm r}'\vert = r\left[
1-\frac{{\bfm n}\!\c...
...\frac{2{\bfm n}\!\cdot\!{\bfm r}'}{r}\right)^2
+\cdots\right],
\end{displaymath}  

donde hemos conservado todos los términos hasta orden $ (r'/r) ^2$. Esta extensión ocurre en el complejo exponencial   es decir, determina la fase de la oscilación de cada elemento de la antena. Los términos cuadráticos en la extensión se pueden descuidar los proporcionaron se pueden demostrar para contribuir un desplazamiento de fase cuál es perceptiblemente menos que $2 \ pi$. Puesto que es el valor posible máximo $r'$ de $d/2$, para una antena linear que extienda a lo largo de $z$- el eje de $z=-d/2$ a $z=d/2$, el desplazamiento de fase asociado a los términos cuadráticos es insignificante mientras
\begin{displaymath}
r \gg \frac{k d^2}{16\pi} = \frac{d^2}{8\lambda},
\end{displaymath}  

donde $ \ lambda = 2 \ pi/k$ está la longitud de onda de la radiación. Este constreñimiento se conoce como el límite de Fraunhofer.

En el límite de Fraunhofer podemos aproximar la variación de fase del complejo exponencial  por una función linear de $r'$:

\begin{displaymath}
\vert{\bfm r} - {\bfm r}'\vert \rightarrow r - {\bfm n}\!\cdot \!{\bfm r}'.
\end{displaymath}  

El denominador $ \ vert {\ bfm r} - {\ bfm r} '\ vert$ en el integrando puede ser aproximado en la manera prevista $r$ que la distancia de la antena es mucho mayor que su longitud; es decir, a condición de que
\begin{displaymath}
r \gg d.
\end{displaymath}  

se reduce a
\begin{displaymath}
{\bfm A}({\bfm r}) \simeq \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{{\rm e}^{\...
...')\,{\rm e}^{-{\rm i}\,k{\bfm n}\cdot
{\bfm r}'}\,d^3{\bfm r}'
\end{displaymath}  

cuando los apremios  están acordes. Si el constreñimiento adicional
\begin{displaymath}
kr\gg 1
\end{displaymath}  

también está acorde, entonces los campos electromagnéticos asociados  tomar la forma
$\displaystyle {\bfm B}({\bfm r})$ $\textstyle \simeq$ $\displaystyle {\rm i}\,k\,{\bfm n}\wedge{\bfm A} = {\rm i}\,k\,\frac{\mu_0}{4\p...
...bfm j}({\bfm r}')\,{\rm e}^{-{\rm i}\,k{\bfm n}
\cdot {\bfm r}'}\,d^3{\bfm r}',$  
$\displaystyle {\bfm E}({\bfm r})$ $\textstyle \simeq$ $\displaystyle c{\bfm B}\wedge{\bfm n} = {\rm i}\,ck\,({\bfm n}
\wedge{\bfm A})\wedge{\bfm n}.$  

Éstos son claramente campos de radiación, puesto que son mutuamente octogonal, transversales al vector del radio, y

acordes  r^ de $E=cB \ del propto {- 1} $. Los tres apremios (5.6), (5.8), y (5.10), se pueden resumir en una sola desigualdad:

\begin{displaymath}
d \ll \sqrt{\lambda r} \ll r.
\end{displaymath}  

La densidad corriente se asoció a un linear, sinusoidal, centro-alimentado la antena es

\begin{displaymath}
{\bfm j}({\bfm r}) = I \sin (kd/2-k\vert z\vert)\,\delta(x)\,\delta(y)\,\hat{\bfm z}
\end{displaymath}  

para $ \ vert z \ vert<d/2$, con $ {\ bfm j} ({\ bfm r}) =0$ para $ \ vert z \ vert \ geq d/2$. En este caso, 
\begin{displaymath}
{\bfm A}({\bfm r}) =\hat{\bfm z}\, \frac{\mu_0 \,I}{4\pi} \f...
...n(kd/2-k\vert z\vert)\,{\rm e}^{-{\rm i}\,k z \cos\theta}\,dz,
\end{displaymath}  

donde ¡$ \ lechuga romano \ theta = {\} \! del bfm n¡\ cdot \!\ sombrero {\ bfm z} $. El resultado de esta integración directa es
\begin{displaymath}
{\bfm A}({\bfm r}) = \hat{\bfm z} \,\frac{\mu_0\, I}{4\pi}
\...
...rac{\cos(kd \,\cos\theta/2)
-\cos(kd/2)}{\sin^2\theta}\right].
\end{displaymath}  

 Es el campo eléctrico en el plano que contiene la antena y el vector del radio al punto de la observación. La energía tiene un promedio irradiado por la antena por ángulo sólido de la unidad
\begin{displaymath}
\frac{dP}{d{\mit \Omega}} =\frac{{\rm Re}\,({\bfm n}\!\cdot\...
..._0}
= \frac{ck^2\,\sin^2\theta\,\vert A\vert^2\,r^2}{2\mu_0}.
\end{displaymath}  

Así,
\begin{displaymath}
\frac{dP}{d{\mit \Omega}} =\frac{\mu_0 c\,I^2}{8\pi^2}
\left...
...\cos(kd \,\cos\theta/2)
-\cos(kd/2)}{\sin\theta}\right\vert^2.
\end{displaymath}  

La distribución de la energía angular depende del valor de $kd$. En el límite largo de la longitud de onda $kd \ ll 1$ la distribución reduce a

\begin{displaymath}
\frac{dP}{d{\mit \Omega}} = \frac{\mu_0 c\,I_0^{~2}}{128\pi^2} \,(kd)^2 \sin^2\theta,
\end{displaymath}  

donde $I_0 = I \, kd/2$ está la corriente máxima en la antena. Se demuestra fácilmente  la distribución actual en la antena es linear:
\begin{displaymath}
I(z) = I_0 (1- 2\vert z\vert/d)
\end{displaymath}  

para $ \ vert z \ vert<d/2$. Este tipo de antena corresponde a un dipolo eléctrico oscilante del cortocircuito (comparado a la longitud de onda), y se conoce generalmente como dipolo oscilante hertziano. La energía total irradiada es
\begin{displaymath}
P = \frac{\mu_0 c\,I_0^{~2} \,(kd)^2}{48\pi}.
\end{displaymath}  

Para mantener la radiación, la energía se debe proveer continuamente al dipolo  Por analogía con la Temperatura de la energía producida en un resistor,
\begin{displaymath}
\langle P\rangle_{\rm heat} =\langle I^2\rangle R = \frac{I_0^{~2}\,R}{2},
\end{displaymath}  

podemos definir el factor que se multiplica $I_0^ {~2} /2$ como la resistencia de la radiación de la antena del dipolo:
\begin{displaymath}
R_{\rm rad} = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}\,\frac{(kd)^2}{24\pi}
= 197\left(\frac{d}{\lambda}\right)^2\,\,{\rm ohms}.
\end{displaymath}  

Puesto que hemos asumido eso $ \ lambda \ gg d$, esta resistencia de la radiación es necesariamente muy pequeña. Típicamente, en dispositivos de esta clase la energía irradiada es hundida por las pérdidas óhmicas que aparecen como calor. Así, un dipolo “corto” es un radiador muy ineficaz. Las antenas prácticas tienen dimensiones que sean comparables con la longitud de onda de la radiación emitida.

Las antenas prácticas mas comunes son probablemente la antena de media-onda (d= \ pi$ de $k) y la antena de onda completa ($kd=2 \ pi$). En el caso anterior se reduce a

\begin{displaymath}
\frac{d P}{d{\mit\Omega}} =\frac{\mu_0 c\,I^2}{8\pi^2}
\frac{\cos^2(\pi\cos\theta/2)}{\sin^2\theta}.
\end{displaymath}  

En el último caso,
\begin{displaymath}
\frac{d P}{d{\mit\Omega}} =\frac{\mu_0 c\,I^2}{2\pi^2}
\frac{\cos^4(\pi\cos\theta/2)}{\sin^2\theta}.
\end{displaymath}  

El patrón de radiación de media-onda de la antena es muy similar al patrón $ \ sin^2 \ theta$ característico de un dipolo hertziano. Sin embargo, el patrón de radiación de onda completa de la antena es considerablemente más agudo (es decir, se concentra más en las direcciones transversales $ \ theta= \ P.M. \ pi/2$).

La energía total irradiada por una antena de media-onda es

\begin{displaymath}
P = \frac{\mu_0 c\,I^2}{4\pi} \int_0^\pi \frac{\cos^2(\pi \cos\theta/2)}
{\sin\theta}\,d\theta.
\end{displaymath}  

El integral se puede evaluar numéricamente para dar $1.2188$. Así,
\begin{displaymath}
P= 1.2188 \,\frac{\mu_0 c\,I^2}{4\pi}.
\end{displaymath}  

 $I$ son equivalentes a la corriente máxima que fluye en la antena. Así, la resistencia de la radiación de una antena de media-onda se da cerca $P/(I^2/2) $, o

\begin{displaymath}
R_{\rm rad} = \frac{0.6094}{\pi} \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} = 73 \,\,{\rm ohms}.
\end{displaymath}  

Esta resistencia es substancialmente más grande que ésa para un dipolo hertziano . Es decir una antena de media-onda es un radiador lejos más eficiente de la radiación electromagnética que un dipolo hertziano. Según la línea estándar teoría de la transmisión, si una línea de la transmisión es terminada por un resistor que se empareje la impedancia característica de la línea, después toda la energía transmitida bajo la línea se disipa en el resistor. Por otra parte, si la resistencia no empareja la impedancia de la línea entonces algo de la energía se refleja y se vuelve al generador. Podemos pensar en una antena de media-onda, centro-alimentada  por una línea de la transmisión, como resistor de 73 ohmios que termina en línea. La única diferencia es que la energía absorbida de la línea está irradiada más y que es disipada como calor. Así, para evitar problemas con energía reflejada la impedancia de una línea de la transmisión que alimenta una antena de media-onda debe ser 73 ohmios. la impedancia de 73 ohmios es uno de los  estándares para los cables coaxiales usados en radio


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